Основы математики
Лектор: Александр Храбров
Лекция 1
Теория множеств. Основные понятия теории множеств. Бинарные отношения и функции. Рефлексивность, симметричность, транзитивность. Взаимно-однозначные соответствия. Счетные множества.
Лекция 2
Логика. Логика высказываний. Таблицы истинности. Пропозициональные формулы. Кванторы. Предикаты. Языки логики первого порядка. Интерпретация языков.
Лекция 3
Основы комбинаторики.
Основные комбинаторные величины и простейшие комбинаторные формулы. Числа сочетания (с повторениями и без повторений), числа размещения (с повторениями и без повторений), перестановки. Треугольник Паскаля. Бином Ньютона и биномиальные коэффициенты.
Лекция 4
Формула включений-исключений. Формула включений-исключений. Задача о беспорядках. Задача о разбиении множеств. Мультиномиальные коэффициенты. Задачи о разбиениях чисел на слагаемые. Упорядоченные и неупорядоченные разбиения. Диаграммы Юнга.
Лекция 5
Оценки и асимптотики для комбинаторных величин.Оценки и асимптотики для комбинаторных величин. Элементарные оценки факториалов, биномиальных коэффициентов и пр. Формула Стирлинга (б/д). Понятие об энтропии. Асимптотики для биномиальных коэффициентов и пр. Оценки сумм биномиальных коэффициентов.
Лекция 6
Производящие функции. Производящие функции. Числа Фибоначчи. Формула Бинэ и матричное представление чисел Фибоначчи. Линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами. Применение производящих функций для решения рекуррентных соотношений. Производящие функции и разбиения чисел. Теорема Харди-Рамануджана (б/д). Производящие функции для биномиальные коэффициентов.
Лекция 7
Экспоненциальные производящие фунцкии. Экспоненциальные производящие фунцкии. Числа Каталана, Стирлинга, Белла, Бернулли и др. Их применения.
Лекция 8
Основы теории графов. Основы теории графов. Пути, циклы, матрица инцидентности, связность. Дополнительный граф. Задача Рамсея. Изоморфизмы графов.
Лекция 9
Деревья, пути, циклы.
Деревья. Двудольные графы. Эйлеровы и Гамильтоновы пути и циклы.
Лекция 10
Лемма Холла и ее переформулировки. Теорема Кенига и ее переформулировки. Планарные графы. Формула Эйлера (б/д). Теорема Куратовского (б/д).